Question

如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，EFGH分别是边AB，BC，CD，DA上的点，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求证：HG||平面ABC
（2）请在平面ABD内过点E做一条线段垂直于AC，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的性质可得BD∥FG，同理可证BD∥EH，由EH=FG可得EFGH为平行四边形，可得HG∥EF，从而证明HG∥平面ABC．
（2）在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于P点，在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于Q点，EQ即为所求线段；可证AC垂直于平面EPQ，进而证得EQ垂直AC．

解答：解：（1）证明：因为BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH=FG，所以BD∥FG，同理BD∥EH，又因为EH=FG，
所以，四边形EFGH为平行四边形，∴HG∥EF，又HG?平面ABC，所以，HG∥平面ABC．
（2）在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于P点，在平面ACD内过点P作PQ⊥AC，且交AD于Q点，连接EQ，则EQ即为所求线段．
证明如下：

EP⊥AC PQ⊥AC EP∩PQ=P

⇒AC⊥平面EPQ EQ?平面EPQ

⇒EQ⊥AC．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，做出线段EQ是解题的难点．