Question

（1）已知在△ABC中，A=45°，AB=

6

，BC=2，求解此三角形．
（2）在△ABC中，B=45°，C=60°，a=2(1+

3

)，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由A的度数求出sinA的值，再由c及a的长，利用正弦定理求出sinC的值，根据c大于a，利用大边对大角可得C大于A，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而利用三角形的内角和定理求出B的度数，由a，cosA及c的值，利用余弦定理求出b的值即可；
（2）由B和C的度数，利用三角形内角和定理求出A的度数为75°，把75°变为45°+30°，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin75°的值，即为sinA的值，由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的长，再由b，a及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A=45°，AB=c=

6

，BC=a=2，
∴由正弦定理得：

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

2

sin45°

=

6

sinC

，
∴sinC=

3

2

，
又c＞a，∴C＞A，
∴C=120°或60°，
∴B=15°或75°，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+6-2

3

b，即b²-2

3

b+2=0，
解得：b=

3

+1或

3

-1，
∴AC=

3

-1或

3

+1，
则C=120°，B=15°，AC=

3

-1或C=60°，B=75°，AC=

3

+1；
（2）∵B=45°，C=60°，
∴A=75°，
又sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6 + 2

4

，
∴sinA=

6 + 2

4

，又a=2（1+

3

），sinB=sin45°=

2

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=4，
又a=2（1+

3

），b=4，sinC=sin60°=

3

2

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=2

3

+6．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．同时注意本题第一问有两解，不要漏解．