Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x，
（1）求x＜0，时f（x）的表达式；
（2）若关于x的方程f（x）-a=o有解，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）由当x＞0时，通过平方关系和辅助角法将f（x）转化为y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，设x＜0时，则-x＞0，，再由奇偶性求解．
（2）将方程f（x）-a=0转化为a=f（x），这样求a的范围即求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）当x＞0时，f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=sin2x+2cos²x+1=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2
x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）
=

2

sin(2x-

π

4

)-2（6分）
（2）若关于x的方程f（x）-a=o有解，
a=f(x)∈[-

2

-2，

2

-2]∪[-

2

+2，

2

+2]∪{0}（12分）

点评：本题主要考查用奇偶性求对称区间上的解析式，涉及到同角三角函数基本关系式和辅助角法以及求函数的值域．