Question

[必做题]
已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3个元素的子集记为A₁，A₂，…，A_C．
（1）当n=5时，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）设m_i为A_i中的最小元素，设p_n=m₁+m₂+…+m_c，试求p_n（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意可知集合A中的元素，组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，求出每个元素出现的次数，即可求出所有元素的和．
（2）若m_i为A_i中的最小元素，则应有1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，若1为某个子集的最小元素，则这样的子集个数2为某个子集的最小元素，则这个集合中，必不再有1，另外两元素取自剩余的n-2个数字中，有

C

2 n-2

个，…，以n-2为最小元素的子集有

C

2 2

个，利用组合数性质可求

解答：解：（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，
于是所求元素之和为（1+2+3+4+5）×15=90
（2）证明：不难得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有

C

2 n-2

个，以3为最小元素的子集有

C

2 n-3

，…以n-2为最小元素的子集有

C

2 2

个
∴p_n=m₁+m₂+…+m_c=1×

C

2 n-1

+2

C

2 n-2

+…+(n-2)

C

2 2

=(n-2)

C

2 2

+(n-3)

C

2 3

+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+（n-3）（

C

2 2

+

C

2 3

）+（n-4）

C

2 4

+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+(n-3)(

C

3 3

+

C

2 3

)+(n-4)

C

2 4

+…

+C

2 n-1

=

C

2 2

+

C

3 4

+（n-3）（

C

2 4

+

C

3 4

）+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+

C

3 4

+（n-4）

C

3 5

+…+

C

2 n-1

=

C

4 4

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

点评：本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．