Question

1．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜-1的解集；
（2）若不等式f（x）≤a|x-2|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|恒成立，即a≥|$\frac{x+1}{x-2}$|-|$\frac{2x-1}{x-2}$|=|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|，利用绝对值三角不等式求得|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＜-1，即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x-2＜-1}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x＜-1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2-x＜-1}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-1；解②求得-1≤x＜-$\frac{1}{3}$，解③求得x＞3，
故不等式的解集为{x|x＜-$\frac{1}{3}$ 或x＞3}．
（2）若不等式f（x）≤a|x-2|对任意的x∈R恒成立，即|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|恒成立，
a≥|$\frac{x+1}{x-2}$|-|$\frac{2x-1}{x-2}$|=|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|，
而|1+$\frac{3}{x-2}$|-|2+$\frac{3}{x-2}$|≤|（1+$\frac{3}{x-2}$）-（2+$\frac{3}{x-2}$）|=1，
∴a≥1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．