Question

【题目】设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）当a＜ 时，对于x∈（﹣∞，﹣ ]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）令|2x+1|=0，解得x=﹣ ，令|x﹣2|=0，解得x=2． 当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x﹣2＜4，解得x ，此时无解；
当 ＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得 ＜x＜1；
当 时，原不等式化为：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤ ．
综上可得：原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}；（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤ 时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a ，
可得g（x）= ，对于x∈ ，
使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈ ，
作出g（x）的图象，可得：[g（x）]min=g（a）=﹣a﹣1，
∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．

【解析】（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣ ，令|x﹣2|=0，解得x=2．对x分类讨论即可得出．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤ 时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a ，可得g（x）= ，对于x∈ ，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈ ，利用图象，即可得出．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．