Question

（2013•贵阳二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点
（Ⅰ）求证：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，

GP

=λ

GF

，且二面角D-BP-A的大小为

π

4

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证明DE∥平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行．因此，取AD得中点M，连接GM，可证出MG∥DE，结合线面平行的判定定理可得DE∥平面FGH；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到

BD

、

BP

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出

m

=（5-2λ，

3

，2

3

）是平面BDP的一个法向量，结合

n

=（0，0，1）是平面ABP的一个法向量和二面角D-BP-A的大小为

π

4

，利用空间向量的夹角公式建立关于λ的方程，解之可得实数λ的值．

解答：解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE
∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2

3

，-2，0），G（

3

，-1，0），F（

3

，1，0）
∴

GF

=（0，2，0），

BD

=（0，-4，2），

BG

=（

3

，-5，0）． 
由

GP

=λ

GF

=（0，2λ，0），可得

BP

=

BG

+

GP

=（

3

，2λ-5，0）．
设平面PBD的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • BP = 3 x+(2λ-5)y=0 m • BD =-4y+2z=0

，取y=

3

，得z=2

3

，x=5-2λ，
∴

m

=（5-2λ，

3

，2

3

），
又∵平面ABP的一个法向量为

n

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2 3

(5-2λ)2+3+12

=cos

π

4

=

2

2

，解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4．

点评：本题在特殊四棱锥中证明线面平行，并求满足二面角D-BP-A的等于

π

4

的点P的位置．着重考查了线面平行的判定定理，利用空间坐标系研究二面角大小等知识点，属于中档题．