Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，，E是C1D1的中点，F是CE的中点．

（1）求证：EA∥平面BDF；

（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；

（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接AC交BD于O点，连接OF，因为OF是△ACE的中位线，则OF∥AE，由线面平行的判定定理得证；

（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF平面BDF，从而得到结论；

（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．

（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，

又AE平面BDF，OF平面BDF，所以EA∥平面BDF；

（2）计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE

又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE

又DF平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE；

（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，因为DF⊥BE，，所以平面，从而DG⊥BE，

所以∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，设其大小为θ，

计算得，，.