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把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x).
(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
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(1)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6-2
3
x)
(1分).
V(x)=
3
4
(6-2
3
x)2x
(4分)
函数的定义域为(0,
3
)
(5分)
(2)实际问题归结为求函数V(x)在区间(0,
3
)
上的最大值点.先求V(x)的极值点.
在开区间(0,
3
)
内,V′(x)=9
3
x2-36x+9
3
(7分)
令V′(x)=0,即令9
3
x2-36x+9
3
=0
,解得x1=
3
3
x2=
3
(舍去)

因为x1=
3
3
在区间(0,
3
)
内,x1可能是极值点.当0<x<x1时,V′(x)>0;
x1<x<
3
时,V′(x)<0.(9分)
因此x1是极大值点,且在区间(0,
3
)
内,x1是唯一的极值点,
所以x=x1=
3
3
是V(x)的最大值点,并且最大值 f(
3
3
)=4

即当正三棱柱形容器高为
3
3
时,容器的容积最大为4.
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1
2
)
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4
9
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8
27
a
?(  )
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