Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）解不等式1-$\frac{1}{f（x）}$＞$\frac{1}{{4}^{x}-1}$；
（3）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并利用函数单调性的定义进行证明．

Answer 1

分析 （1）由2^x-1≠0即可得出定义域，可将原函数变成$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，从而可由2^x＞0得到$\frac{1}{{2}^{x}-1}$的范围，从而得出原函数的值域；
（2）带入f（x），可得到$\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{{4}^{x}-1}$，讨论x＜0，和x＞0，从而将分式不等式变成整式不等式再求解集可；
（3）f（x）=$1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，可以看出x增大时，f（x）减小，从而知f（x）在（-∞，0）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x₁＜x₂＜0，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出f（x）在（-∞，0）上单调递减．

解答 解：（1）解2^x-1≠0得，x≠0；
∴该函数的定义域为{x|x≠0}；
$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
2^x＞0；
∴-1＜2^x-1＜0，或2^x-1＞0；
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}＜-1$，或$\frac{1}{{2}^{x}-1}＞0$；
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1；
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）$\frac{1}{f（x）}=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$（Ⅰ）；
∴由原不等式得，$\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{{4}^{x}-1}$；
①若x＞0，由不等式（Ⅰ）得：2•2^2x-2^x-3＞0；
∴（2^x+1）（2^x-3）＞0；
∴2^x＞3；
∴x＞log₂3；
②若x＜0，由不等式（Ⅰ）得：2•2^2x-2^x-3＜0；
∴（2^x+1）（2^x-3）＜0；
∴2^x＜3；
∴x＜0；
综上得原不等式的解集为（-∞，0）∪（log₂3，+∞）；
（3）$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，x增大时，2^x-1增大，∴f（x）减小，∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0，{2}^{{x}_{1}}-1＜0，{2}^{{x}_{2}}-1＜0$；
∴$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，分离常数法的运用，根据不等式的性质求值域，解分式不等式，指数式和对数式的互化，指数函数及对数函数的单调性，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差比较法的运用．