Question

17．已知对于任意实数x，二次函数f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，判别式小于等于0求得a的范围，
（2）根据（1）a的范围确定函数g（a）的解析式，根据函数的单调性求得函数的值域．

解答 解（1）解：依题意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-$\frac{3}{2}$≤a≤2；
（2）当1≤a≤2时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）²，单调增，∴g（a）∈[4，9]；
当-$\frac{3}{2}$≤a＜1时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）²+4，函数单调增，∴g（a）∈[-$\frac{9}{4}$，4）；
综合得函数g（a）的值域为[-$\frac{9}{4}$，9]．

点评 本题主要考查了二次函数的值域问题．解题的关键是求得函数的解析式和在定义域上的单调性，属于基础题．