Question

如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若FC=，求椭圆的方程．

Answer 1

解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c=，…（2分）
即=，所以椭圆的离心率e=…（4分）
（2）由（1）知a=c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，
设C（x₀，x₀-c），因为点C在椭圆上，所以+=1，…（6分）
即+2（x₀-c）²=2c²，
解得x₀=0（舍去），x₀=c．
所以C为（c，c），…（8分）
因为FC=，由两点距离公式可得（c-c）²+（c）²=，
解得c²=2，所以a=2，b=，
所以此椭圆的方程为+=1． …（10分）
分析：（1）依题意，可求得2c=，从而可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）可知直线AB的方程为y=x-c，设C（x₀，x₀-c），将其代入椭圆方程，可求得x₀，利用两点间的距离公式表示出FC=，可求得c，从而可求得椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的简单性质（求离心率），考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想与化归思想的综合应用，属于中档题．