Question

8．在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+|MF|的值最大，则这一最大值是4+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由椭圆方程求得a，利用椭圆定义把|MP|+|MF|转化，数形结合得答案．

解答 解：如图，

由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a²=4，a=2．
设椭圆左焦点为F′，则|MF|=2a-|MF′|=4-|MF′|，
∴|MP|+|MF|=4-|MF′|+|MP|=4+（|MP|-|MF′|）．
由图可知，当M为PF′的延长线与椭圆的交点时，|MP|-|MF′|有最大值为$\sqrt{5}$．
∴|MP|+|MF|的值最大值为4+$\sqrt{5}$．
故答案为：4+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．