Question

已知AB为球O的一条直径，△BCD是球O的内接正三角形且边长为2，若三棱锥A-BCD的体积为1，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：过O作OH⊥平面BCD，H为平面BCD的中心，求出OH，则A到平面BCD的距离为2OH．求出三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式，求得R，再由球的表面积公式，即可得到．

解答： 解：∵AB是球的直径，D、C两点在球面，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=2R，BC=BD=CD=2，
过O作OH⊥平面BCD，
H为平面BCD的中心，
且BE=

3

2

×2=

3

，即有BH=

2 3

3

，
OH=

R2- 4 3

，则A到平面BCD的距离为2OH．
由于V_A-BCD=1，即

1

3

•2OH•S_△BCD=1，
即有2

R2- 4 3

•

3

4

•4=3，
解得，R²=

25

12

，
则球的表面积为S=4πR²=

25π

3

．
故答案为：

25π

3

．

点评：本题给出特殊的球内接三棱锥，着重考查了球内接多面体、锥体体积公式及球的表面积公式等知识，属于基础题．