Question

【题目】椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ．
（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，﹣2），直线AF1 ， AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面积为 ，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
则2b=a+c，则4b2=a2+2ac+c2 ，
由b2=a2﹣c2 ， 则4（a2﹣c2）=a2+2ac+c2 ，
∴3a2﹣5c2﹣2ac=0，
两边同除以a2 ， 5e2+2e﹣3=0，
由0＜e＜1，解得e= ，
（Ⅱ）由已知可得b=2，
把直线AF2：y= x﹣2，代入椭圆方程 ，
整理得：（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，
∴x= = ，
∴C（ ，y），
由椭圆的对称性及平面几何知识可知，△ABC的面积为S= ×2x×（y+2）= = [ ]2 ，
∴ [ ]2= ，解得：c2=1，
a2=b2+c2=5，
故所求椭圆的方程为
【解析】（Ⅰ）由2b=a+c，由b2=a2﹣c2 ， 利用离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）把直线AF2：y= x﹣2，代入椭圆方程，求得C点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得c的值，则a2=b2+c2=5，求得椭圆方程．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．