Question

6．已知a∈R，函数f（x）=x³-ax²+ax+a，g（x）=f（x）+（a-3）x．
（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，4）；
（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出求出方程，从而求出定点即可；
（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，不是最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 （1）证明：∵f'（x）=3x²-2ax+a，∴f'（1）=3-a，
∵f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a+1）=（3-a）（x-1），
即a（x-2）=3x-y-2，令x=2，则y=4，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）；
（2）解：g'（x）=f'（x）+a-3=3x²-2ax+2a-3=（x-1）[3x-（2a-3）]，
令g'（x）=0得x=1或x=$\frac{2a-3}{3}$，
∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，
∴$\frac{2a-3}{3}$＞1，∴a＞3，
令g'（x）＞0，得x＜1或x＞$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递增；
令g'（x）＜0，得1＜x＜$\frac{2a-3}{3}$，g（x）递减，
∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，
∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18-2a，
∴g（3）=18-2a＞g（1）=2a-2，∴a＜5，又a＞3，
∴3＜a＜5．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．