Question

【题目】如图，直三棱柱中，，、、分别是线段、、的中点，，，在线段上运动，设.

（1）证明：；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，在上，且

【解析】

（1）推导出，，由线面垂直的判定定理，得到面，由此证得；

（2）以为坐标原点，分别以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得存在点P，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.

（1）在中，，得

同理可得，所以，

得，又，

由线面垂直的判定定理，可得面，

又由面，所以.

（2）由(Ⅰ)可得，不妨设，，

以为坐标原点，分别以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

则

，

故

设平面的法向量为

所以，

令，则，，得，

取平面的一个法向量为，

假设存在点满足题意，

则，

化简得，解得或，

又由，所以，

综上，存在点，使得平面与平面的夹角为.