Question

8．已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：直线MF⊥面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长C₁F，交CB的延长线于N，连结AN，由中位线定理得到MF∥AN，由此能证明MF∥平面ABCD．
（2）连结BD，由直四棱柱性质得A₁A⊥平面ABCD，从而AA₁⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明直线MF⊥面ACC₁A₁．
（3）由已知条件推导出∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：延长C₁F，交CB的延长线于N，连结AN，
∵F是BB₁的中点，∴F为C₁N的中点，B为CN的中点
又M是线段AC₁的中点，∴MF∥AN．
∵MF?平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
（2）证明：连结BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵AC∩A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA=BN，∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，
又∵MF∥AN，∴直线MF⊥面ACC₁A₁．
（3）解：由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，又AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA．
又由BD⊥AC，知NA⊥AC．
∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC=$\frac{{C}_{1}C}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，故∠C₁AC=30°．
∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．