Question

15．若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 （1）利用新定义即可求出x的取值范围；
（2）利用新定义和不等式的性质即可证明．

解答 解：（1）由题设|x²-1|＞1，即
∴x²-1＜-1或x²-1＞1，即x²＜0或x²＞2；
解得x＜-$\sqrt{2}$，或x＞$\sqrt{2}$，
即x∈（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
证明：（2）对任意两个不相等的正数a、b，有
a³+b³＞2ab$\sqrt{ab}$，a²b+ab²＞2ab$\sqrt{ab}$．
∵|a³+b³-2ab$\sqrt{ab}$|-|a²b+ab²-2ab$\sqrt{ab}$|=（a+b）（a-b）²＞0，
∴|a³+b³-2ab$\sqrt{ab}$|＞|a²b+ab²-2ab$\sqrt{ab}$|，即a³+b³比a²b+ab²远离2ab$\sqrt{ab}$．

点评 本题主要考查推理（归纳推理）与证明等基础知识，考查运算化简能力、推理论证能力，考查特殊与一般的思想、化归与转化的思想，属于中档题．