Question

已知函数f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）当n≥2且n∈N^*时，证明：

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞lnn．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）在[1，+∞）上为增函数，得f′(x)=t-

1

x

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，分离参数t后化为函数最值解决；
（Ⅱ）由（I）可知当t=1，x≥1时，f（x）≥f（1）=0，从而可得x-1≥lnx（当x=1时，等号成立），可证x∈（0，1]时，也有x-1≥lnx在（0，1]恒成立，从而有x∈（0，+∞）时，x-1≥lnx…①恒成立，（当且仅当x=1时，等号成立），用x代替x-1，得x≥ln（x+1）…②恒成立（当且仅当x=0时，等号成立），则k≥2时，k∈N^*，由①得k-1＞lnk，即

1

lnk

＞

1

k-1

，由②得

1

k-1

＞ln(1+

1

k-1

)．进而可得当k≥2，k∈N^*时，

1

lnk

＞ln(1+

1

k-1

)，即

1

lnk

＞lnk-ln(k-1)．令k=2，3，…n，然后把各式累加可得结论；

解答： 解：（I）函数f（x）=tx-t-lnx的定义域为（0，+∞）．
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′(x)=t-

1

x

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，即t≥

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立，
∵

1

x

≤1，∴t≥1，
∴t的取值范围为[1，+∞）．
（Ⅱ）由（I）当t=1，x≥1时，f（x）≥f（1），又f（1）=0，
∴x-1-lnx≥0（当x=1时，等号成立），即x-1≥lnx．
又当x∈（0，1]时，设g（x）=x-1-lnx，
则g′(x)=

x-1

x

≤0，∴g（x）在（0，1]上递减，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在（0，1]恒成立，
∴x∈（0，+∞）时，x-1≥lnx…①恒成立，（当且仅当x=1时，等号成立），
用x代替x-1，则x≥ln（x+1）…②恒成立（当且仅当x=0时，等号成立），
∴当k≥2时，k∈N^*，由①得k-1＞lnk，即

1

lnk

＞

1

k-1

，
当k≥2时，k∈N^*，

1

k-1

＞0，由②得

1

k-1

＞ln(1+

1

k-1

)．
∴当k≥2，k∈N^*时，

1

lnk

＞ln(1+

1

k-1

)，即

1

lnk

＞lnk-ln(k-1)．
∴

1

ln2

＞ln2-ln1，

1

ln3

＞ln3-ln2，

1

ln4

＞ln4-ln3，…

1

lnn

＞lnn-ln(n-1)．
∴

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞lnn．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值及不等式证明问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大．