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    17．某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112），[112，114），[114，116），[116，118]内该厂可获利分别为10，30，20，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．
    （1）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
    （2）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样
    本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．

    分析 （1）由频率分布直方图能求出a和该厂生产一件A产品的平均利润．
    （2）由频率分布直方图得应从直径位于区间[112，114）的产品数中抽取2件，从直径位于区间[114，116）的产品中抽取3件，由此利用列举法能求出两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．

    解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
    2（0.050+0.150+a+0.075）=1，
    解得a=0.225．
    直径位于区间[110，112）的频数为200×2×0.050=20，
    位于区间[112，114）的频数为200×2×0.150=60，
    位于区间[114，116）的频数为200×2×0.225=90，
    位于区间[116，118）的频数为200×2×0.075=30，
    ∴该厂生产一件A产品的平均利润为：
    $\frac{10×20+30×60+20×90+10×30}{200}$=20.5（元）．
    （2）由频率分布直方图得：
    直径位于区间[112，114）和[114，116）的频率之比为：2：3，
    ∴应从直径位于区间[112，114）的产品数中抽取2件，记为A，B，
    从直径位于区间[114，116）的产品中抽取3件，记为a，b，c，
    从中任取两件，所有可能的取法有：
    （A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c，），（b，c），共10种，
    其中两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114，116）内的取法有7种，
    ∴两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$．

    点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．

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