Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）．
（1）求证：f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在（0，+∞）上的最小值和值域．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=x+$\frac{4}{x}$的导数，判断导数的值在两个区间上的符号，若符号为正，此函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上为减函数；
（2）根据（1）中结论，可得当x=2时，函数取最小值，进而得到函数值域．

解答 证明：（1）∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈（0，+∞）．
∴f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，2）时，$\frac{4}{{x}^{2}}$＞1，故1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，故函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（0，2）上是减函数．
当x∈（2，+∞）时，$\frac{4}{{x}^{2}}$＜1，故1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，故函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（2，+∞）上是增函数．
由上证，f（x）=x+$\frac{4}{x}$的（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
解：（2）由（1）得：当x=2时，函数f（x）取最小值4，无最大值，
故f（x）在（0，+∞）上的值域为[4，+∞）

点评 本题的考点是函数单调性的判断与证明，函数的最值和函数的值域；本题采取了用导数法来证明函数单调性，其对应关系是若导数在某个区间上函数值恒大于等于0，则这个区间是这个函数的增区间，若数在某个区间上函数值恒小于等于0，则这个区间是这个函数的减区间．