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【题目】已知无穷集合AB,且,记,定义:满足时,则称集合AB互为完美加法补集”.

(Ⅰ)已知集合.判断20192020是否属于集合,并说明理由;

(Ⅱ)设集合.

(ⅰ)求证:集合AB互为完美加法补集

(ⅱ)记分别表示集合AB中不大于n)的元素个数,写出满足的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)

【答案】(Ⅰ);见解析(Ⅱ)(ⅰ)见解析;(ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由a为奇数,b为偶数,可得为奇数,即可判断20192020是否属于集合

(Ⅱ)(ⅰ)对于任意自然数p可表示为唯一一数组(),其中11k,使得11k,考虑自然数p的个数即可得证;再证

,其中111k,则.由反证法即可得证;

(ⅱ)考虑集合中元素为奇数,可为.

(Ⅰ)由是奇数,

时,

所以

(Ⅱ)(ⅰ)首先证明:对于任意自然数p可表示为唯一一数组(),

其中11k

使得11k

由于

这种形式的自然数p至多有个,且最大数不超过.

11k,每个都有两种可能,

所以这种形式的自然数p共有个结果.

下证

其中111k,则.

假设存在中,取i最大数为j

所以不可能.

综上,任意正整数p可唯一表示为

显然

满足,所以集合AB互为完美加法补集”.

(ⅱ).

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A.B.

C.D.

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