【题目】已知无穷集合A,B,且,,记,定义:满足时,则称集合A,B互为“完美加法补集”.
(Ⅰ)已知集合,.判断2019和2020是否属于集合,并说明理由;
(Ⅱ)设集合,.
(ⅰ)求证:集合A,B互为“完美加法补集”;
(ⅱ)记和分别表示集合A,B中不大于n()的元素个数,写出满足的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)
【答案】(Ⅰ),;见解析(Ⅱ)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由a为奇数,b为偶数,可得为奇数,即可判断2019和2020是否属于集合;
(Ⅱ)(ⅰ)对于任意自然数p可表示为唯一一数组(,,,…,,…,),其中,1;,1,…,k,,使得,,1;,1,…,k,,考虑自然数p的个数即可得证;再证
,其中,1;,1;,1,…,k,,则.由反证法即可得证;
(ⅱ)考虑集合中元素为奇数,可为.
(Ⅰ)由,得是奇数,
当,时,,
所以,;
(Ⅱ)(ⅰ)首先证明:对于任意自然数p可表示为唯一一数组(,,,…,,…,),
其中,1;,1,…,k,,
使得,,1;,1,…,k,,
由于,
这种形式的自然数p至多有个,且最大数不超过.
由,1;,1,…,k,,每个都有两种可能,
所以这种形式的自然数p共有个结果.
下证
,
其中,1;,1;,1,…,k,,则.
假设存在中,取i最大数为j,
则
,
所以不可能.
综上,任意正整数p可唯一表示为
显然,,
满足,所以集合A,B互为“完美加法补集”.
(ⅱ).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级,30~40分贝是较理想的安静环境,超过50分贝就会影响睡眠和休息,70分贝以上会干扰谈话,长期生活在90分贝以上的嗓声环境,会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病,如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中,听觉器官会发生急剧外伤,引起鼓膜破裂出血,双耳完全失去听力,为了保护听力,应控制噪声不超过90分贝,一般地,如果强度为的声音对应的等级为,则有,则的声音与的声音强度之比为( )
A.10B.100C.1000D.10000
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数(其中,m,n为常数)
(1)当时,对有恒成立,求实数n的取值范围;
(2)若曲线在处的切线方程为,函数的零点为,求所有满足的整数k的和.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为a,b,c(,且a,b,);选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是( )
A.每场比赛的第一名得分a为4
B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名
D.丙至少有一场比赛获得第三名
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【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如图所示:
(1)现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人,求至少有1位消费者,其去年的消费者金额在的范围内的概率;
(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:
预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员,消费者在申请办理会员时,需一次性缴清相应等级的消费金额,该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:
方案1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励:
普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元;金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.
方案二:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸一个球,若摸到红球的总数为2,则可获得200元奖励金;若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金;其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)
请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周碑算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形,设,若在大正三角形中随机取一点,则此点取自小正三角形的概率为( )
A.B.
C.D.
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