Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数，若对任意的，总存在，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定函数解析式，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的值域；
（2）确定函数在其定义域[a，b]上，导数为正，即可得到结论；
（3）由题意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分别确定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得实数m的取值范围．
解答：（1）解：当k=0时，4x²-1=0，∴x=±，∴，
∴，
∴f（x）在[]上单调递增
∴函数f（x）的值域为[-，]；
（2）证明：求导函数可得
∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根
∴抛物线开口向下，两根之内的函数值必为正值
∵当x∈[a，b]，，∴-x²+kx+1＞0，
∴＞0．
∴函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）解：由题意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m

x			-m	（-m，m）	m
f'（x）		+		-		+
f（x）		递增	极大值g（-m）	递减	极小值g（m）	递增

显然，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需，解得：．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．