Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，数列{bn}的前n项和为Sn ， 且Sn=2﹣bn ．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为a1=1，an+1﹣an=2，

所以{an}为首项是1，公差为2的等差数列，

所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，

又当n=1时，b1=S1=2﹣b1，所以b1=1，

当n≥2时，Sn=2﹣bn①，Sn﹣1=2﹣bn﹣1②

由①﹣②得bn=﹣bn+bn﹣1，即 ，

所以{bn}是首项为1，公比为 的等比数列，

故 ，n∈N*；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

则 ①，

= ②，

①﹣②得

= = = ．

所以 ．

【解析】（Ⅰ）由等差数列的定义和通项公式可得an；运用数列的递推式：当n=1时，b1=S1，当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得到{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．