Question

已知函数f（x）=8ln（1+e^x）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有：成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简 为 ，
由x₁≠x₂，可得 e^x₁+e^x₂＞2，得到 ，即可得到结论．
（2）由f′（x）＜0恒成立，得到f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，根据条件化简可得＜0，故角B为钝角，
若△ABC是等腰三角形，则只可能是，由此推出，这与（1）结论矛盾，结论得证．
解答：解：（1）∵f（x）=81n（1+e^x）-9x，
∴
= 
=．
∵x₁≠x₂，∴e^x₁+e^x₂＞2，∴，
∴．
（2）∵f′（x）=＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），且x₁＜x₂＜x₃．
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=，
∴ 
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形．  若△ABC是等腰三角形，则只可能是，
即（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂=，∴有[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²，∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂）-f（x₃），
即：f（x₂）=
即：，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．
点评：本题考查比较两个式子大小的方法，利用导数研究函数的单调性，两个向量的数量积公式，用反证法证明数学命题，
式子的变形化简，是解题的难点．