Question

17．已知函数f（x）=2x+sinx，若对任意的x，y∈R，不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则x²+y²的取值范围是[9，49]．

Answer 1

分析 由函数解析式可得函数的奇偶性与单调性，把不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立转化为（x+3）²+（y-4）²＜2恒成立，然后利用x²+y²的几何意义求得其取值范围．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx，其定义域为R，
且f（-x）=-2x+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
∴f（x）为实数集上的奇函数；
又f′（x）=2+cosx＞0在实数集上恒成立，∴f（x）为实数集上的增函数．
则由f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0，得f（x²+6x+21）＜f（-y²+8y），
即x²+6x+21＜-y²+8y，∴（x+3）²+（y-4）²＜2．
设M（x，y），M表示以（-3，4）为圆心，2为半径的圆内的任意一点，
则x²+y²表示在圆内任取一点与原点的距离的平方，
∴（5-2）²≤x²+y²≤（5+2）²，即9≤x²+y²≤49．
故答案为：[9，49]．

点评 本题考查了函数奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现数形结合、转化与化归思想在解题中的应用，是中档题．