Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C₁D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  2

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间向量及应用

分析：设

DP

=λ

DC1

，

AQ

=μ

AC

，（λ，μ∈[0，1]）．可得

DP

=（0，λ，2λ），

DQ

=

DA

+μ(

DC

-

DA

)=（1-μ，μ，0）．利用向量模的计算公式可得|

PQ

|=|（1-μ，μ-λ，-2λ）|=

(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2

，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设

DP

=λ

DC1

，

AQ

=μ

AC

，（λ，μ∈[0，1]）．
∴

DP

=λ(0，1，2)=（0，λ，2λ），

DQ

=

DA

+μ(

DC

-

DA

)=（1，0，0）+μ（-1，1，0）=（1-μ，μ，0）．
∴|

PQ

|=|（1-μ，μ-λ，-2λ）|=

(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2

=

5(λ- μ 5 )2+ 9 5 (μ- 5 9 )2+ 4 9

≥

4 9

=

2

3

，当且仅当λ=

μ

5

，μ=

5

9

，即λ=

1

9

，μ=

5

9

时取等号．
∴线段PQ长度的最小值为

2

3

．
故选：C．

点评：本题考查了向量共线定理、坐标运算、实数的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．