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如图,已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)证明:MN⊥AB;
(2)设平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ,试求当θ为何值时,MN⊥面PCD.
分析:(1)利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出NO⊥平面ABCD,利用线面垂直的判定定理与性质定理得到MN⊥AB.
(2)由已知易得:∠PDA即为平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角,利用等腰三角形的中线垂直于底边得到MN⊥PC,由(1)知,MN⊥CD,利用线面垂直的判定定理得到MN⊥平面PCD.
解答:证明:(1)连接AC,BD,设AC∩BD=0,连接NO,MO,则NO∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,
∴NO⊥平面ABCD,
又∵AB?平面ABCD,
∴NO⊥AB,
∵MO⊥AB,NO∩MO=0,NO,MO?面MNO
∴AB⊥面MNO
又∵MN?面MNO
∴MN⊥AB…(6分)
解:(2)当θ=45°时,MN⊥面PCD,理由如下:
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD
又∵矩形ABCD中AD⊥CD
∴∠PDA即为平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角
∴∠PDA=45°
∴PA=AD=BC,由△PAM≌△CBM
得PM=CM,
又∵N为PC的中点,
∴MN⊥PC
又MN⊥CD,PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD    …(12分)
点评:本题考查线面垂直的判定定理;考查线面垂直的性质定理,利用三角形的中位线证明线线平行,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:名师指点学高中课程 数学 高二(下) 题型:044

如图,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将△ABC折起,使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上,求:

(1)异面直线AB与CD成的角;

(2)异面直线AB与CD的距离;

(3)二面角B-AC-D的大小.

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科目:高中数学 来源:2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、

PC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD;

(2)求证:EF⊥CD;

(3)若ÐPDA=45°求EF与平面ABCD所成的角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用,以及线面角的求解的综合运用

第一问中,利用连AC,设AC中点为O,连OF、OE在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD.

第二问中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF.

第三问中,若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC    ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

证:连AC,设AC中点为O,连OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD.

(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF.

(3)若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC         ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A、选修4-1:几何证明选讲

   如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2:矩形与变换

已知 为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。

C、选修4-4:坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。

D、选修4-5:不等式选讲

   已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知几何体ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形,四边形ABEF为矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O为AB中点.

(1)求证:AB⊥平面DCO

(2)若M为CD中点,AF=x,则当x取何值时,使AM与平面ABEF所成角为45°?

试求相应的x值的.

(3)求该几何体在(2)的条件下的体积.

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科目:高中数学 来源:2011届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:几何证明选讲
如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2:矩形与变换
已知为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。
C、选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。
D、选修4-5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

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