【题目】设函数,
已知曲线y=f(x)
在处的切线与直线
垂直。
(1) 求的值;
(2) 若对任意x≥1,都有,求
的取值范围.
【答案】(1) b=1(2) (,-
-1)∪(
-1,1)
【解析】试题分析:(1)求出函数导数,由两直线垂直斜率之积为-1,解方程可得
(2)求出导数,对 讨论,①若
,则
;②若
,则 ;③若
三种情况分别求出单调区间,可得最小值,解不等式即可得到所求范围.
试题解析:(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2,又f′(x)=ln x++1,即ln 1+b+1=2,所以b=1.
(2) g(x)的定义域为(0,+∞),
g′(x)=+(1-a)x-1=
(x-1).
①若a≤,则
≤1,故当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以,对任意x≥1,都有g(x) >
的充要条件为g(1) >
,即
-1>
,解得a<-
-1或
-1 <a≤
②若<a<1,则
>1,故当x∈
时,g′(x)<0;当x∈
时,g′(x)>0.f(x)在
上单调递减,在
上单调递增.
所以,对任意x≥1,都有g(x) >的充要条件为g
>
.而g
=aln
+
+
>
在
<a<1上恒成立,
所以<a<1
③若a>1,g(x)在[1,+∞)上递减,不合题意。
综上,a的取值范围是(,-
-1)∪(
-1,1)
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,侧面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求证:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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【题目】有4个不同的小球,4个不同的盒子,现要把球全部放进盒子内.
(1)恰有1个盒子不放球,共有多少种方法?
(2)恰有2个盒子不放球,共有多少种方法?
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【题目】判断居民户是否小康的一个重要指标是居民户的年收入,某市从辖区内随机抽取100个居民户,对每个居民户的年收入与年结余的情况进行分析,设第i个居民户的年收入xi(万元),年结余yi(万元),经过数据处理的: =400,
=100,
=900,
=2850.
(1)已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系,求线性回归方程;
(2)若该市的居民户年结余不低于5万,即称该居民户已达小康生活,请预测居民户达到小康生活的最低年收入应为多少万元? 附:在y=bx+a中,b= ,a=
,其中
,
为样本平均值.
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【题目】已知数列{an+1﹣2an}是公比为2的等比数列,其中a1=1,a2=4.
(1)证明:数列{ }是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)记Cn= (n≥2),证明:
(
)n<
+…+
≤1﹣(
)n﹣1 .
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【题目】若函数f(x)=x2+ax﹣ 在(
,+∞)是增函数,则a的取值范围( )
A.(﹣∞,3]
B.(﹣∞,﹣3]
C.[﹣3,+∞)
D.(﹣3,+∞)
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【题目】经研究,城市公交车的数量太多容易造成资源浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位: )作为样本分成5组如下表:
组别 | 侯车时间 | 人数 |
一 | 2 | |
二 | 6 | |
三 | 2 | |
四 | 2 | |
五 | 3 |
(1)估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数;
(2)若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率.
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