Question

如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得

AE

EB

=

CF

FD

=λ （0＜λ＜+∞），记f（λ）=α_λ+β_λ其中α_λ表示EF与AC所成的角，β_λ表示EF与BD所成的角，则（　　）

A．f（λ）在（0，+∞）单调增加

B．f（λ）在（0，+∞）单调减少

C．f（λ） 在（0，1）单调增加，而在（1，+∞单调减少

D．f（λ）在（0，+∞）为常数

Answer 1

分析：根据α_λ表示EF与AC所成的角，β_λ表示EF与BD所成的角，证明AC⊥BD，可得结论．

解答：解：作EG∥AC交BC于G，连GF，

则

AE

EB

=

CG

GB

=

CF

FD

，故GF∥BD
∴∠GEF=α_λ，∠GFE=β_λ，
取BD的中点M，连接AM，CM，∵ABCD是正四面体，∴BD⊥AM，BD⊥CM，
∵AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM
∴AC⊥BD，∴∠EGF=90°
故f（λ）=）=α_λ+β_λ=∠GEF+∠GFE=90°，即为常数．
故选D．

点评：本题考查空间角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．