Question

（1）求直线l₁：2x+y-4=0关于直线l₂：3x+4y-1=0对称的直线方程．
（2）已知实数x，y满足x²+y²-4x=0，求

y-1

x+2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求得直线l₁与直线l₂对的交点p的坐标，在直线l₁上取一点M（0，3），求出点P关于直线l₂对称点N，的坐标，可得MN的斜率，用点斜式求得对称直线l的方程．
（2）由题意，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解．

解答：解：（1）两直线交点P（3，-2）------------------------（2分）
取直线l₁上的点M（2，0）关于直线l₂对称的点N（m，n），
由对称条件则有

3× 2+m 2 +4× n 2 -1=0 n m-2 ×(- 3 4 )=-1

，
解得

m= 4 5 n=- 8 5

，
解得N(

4

5

，-

8

5

)
所求直线方程为：2x+11y+16=0-----------------------------（6分）
（2）解：令k=

y-1

x+2

则k可看作圆x²+y²-4x=0上的动点到点（-2，1）的连线的斜率，
由圆心（2，0）到直线kx-y+2k+1=0的距离d≤2，
得

y-1

x+2

的范围是[

-2- 13

6

，

-2+ 13

6

]----------------------（12分）

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法以及直线与圆的相切与相交的关系，用点斜式求直线的方程，属于中档题．