Question

【题目】已知函数是奇函数，，当时，，则不等式的解集为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意构造函数g（x）＝xf（x）求出g′（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）＝0得g（2）＝0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），

∵当x<0时，有xf′（x）+f（x）>0，则g′（x）>0，

∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

∵函数f（x）是R上奇函数，∴函数g（x）是R上的偶函数，

则g（x）在（0，+∞）上单调递减，

又f（2）＝0，则g（2）＝0，

∴在（0，2）内恒有g（x）＞0；在（2，+∞）内恒有g（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）内恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）内恒有g（x）＞0，

∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0，

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），

故答案为．