Question

【题目】如图，设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C交于A，B.已知椭圆C的焦距是2，四边形AF1BF2的周长是4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线AF1，BF1分别与椭圆C交于M，N，求△MNF1面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）＝1；（2）

【解析】

（1）由题意可得2c＝2，4a＝4，b2＝a2﹣c2，由此能求出椭圆的方程.

（2）设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），则直线AF1：，直线BF1：，联立求出， ，xN＝，由M，N，E三点共线得kME＝kNE，得t＝﹣，由此能求出△MNF1面积的最大值.

（1）由题意可得2c＝2，4a＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝2，b2＝1，

∴椭圆的方程为：＝1.

（2）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），B（﹣x0，﹣y0），

则直线AF1：，直线BF1：

联立，得，

又＝1，代入化简得＝0，

∴y0yM＝﹣，∴，∴＝﹣，

同理得，xN＝，设直线MN与x轴交于E（t，0），

由M，N，E三点共线得kME＝kNE，得t＝﹣，

∴＝＝＝≤，当时，取等号.

∴△MNF1面积的最大值为。