Question

设a＜1，集合，，.
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数在D内的极值点．

Answer 1

（1）i)当0<a<时，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；
ii)当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)．
（2）f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．

(1)解本小题的关键是令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，根据Δ，然后根据a的值分类讨论，求出h(x)>0的解集，从而可确定D.
(2)先求出f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a),然后再根据(1)中a在不同取值下对应的D，确定f(x)的极值.
解：（1）x∈D?x>0且2x²－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，Δ．
①当<a<1时，Δ<0，所以?x∈R，h(x)>0，所以B＝R.于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解，x₁＝x₂＝＝＝1，
所以B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当a<时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解x₁＝，x₂＝.
因为x₁<x₂且x₂>0，所以B＝(－∞，x₁)∪(x₂，＋∞)．
又因为x₁>0?a>0，所以
i)当0<a<时，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；
ii)当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)．
（2）f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：

①当<a<1时，D＝(0，＋∞).由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点，x＝1为f(x)在D内的极小值点．
②当a＝时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x＝为f(x)在D内的极大值点．
③当0<a<时，D＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)．
因为x₁＝＝≥ [3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x₁<<1，
x₂＝＝>＝1，
所以a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．
④当a≤0时，D＝(x₂，＋∞)且x₂>1.
由表可得，f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．