Question

已知P是△ABC内一点，且满足

PA

+2

PB

+3

PC

=0，记△ABP、△BCP、△ACP的面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁：S₂：S₃

 

．

Answer 1

分析：有已知的等式变形可得∴

BA

=-6

PD

，

PE

=-

1

3

BA

，P到BC的距离等于A到BC的距离的

1

6

，P到AC的距离等于B到AC的距离的

1

3

．从而，S₂ =

1

6

S，S₃ =

1

3

S，S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S，从而求得S₁：S₂：S₃ 的值．

解答：解：如图：设D、E 分别为BC、AC的中点，
∵

PA

+2

PB

+3

PC

=0，∴

PA

-

PB

=-3（

PB

+

PC

），
∴

BA

=-3×2

PD

=-6

PD

，
同理由（

PA

+

PC

）=-2（

PB

+

PC

），即  2

PE

=-2×

PD

，
∴

PE

=-

1

3

BA

．∴P到BC的距离等于A到BC的距离的

1

6

，
设△ABC的面积为S，则S₂ =

1

6

S．
 P到AC的距离等于B到AC的距离的

1

3

，
∴S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S．
∴S₁：S₂：S₃ =

1

2

S：

1

6

S：

1

3

S=3：1：2，
故答案为：3：1：2．

点评：本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．