Question

如图所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积．

Answer 1

分析：根据旋转体形成的过程，可得△OAB绕x轴旋转一周，产生如图的由圆台OO₁中挖去圆锥OO₁而组成的组合体，绕y轴旋转一周，产生如图的有公共底面圆的大圆锥减去小圆锥组成的组合体．由此结合圆台、圆锥的侧面积公式，结合题中的数据加以计算，即可得到它们的表面积．

解答：解：△OAB绕x轴旋转一周，产生的几何体是由圆台OO₁中挖去圆锥OO₁而组成的组合体
其表面由圆台OO₁的侧面、上底面圆和圆锥OO₁的侧面组成
∵AO₁=3，B0=2，OA=3

2

，AB=

10

∴其表面积为S₁=π（3+2）×

10

+π×2²+π×3×3

2

=（5

10

+9

2

+4）π
△OAB绕y轴旋转一周，产生的几何体是有公共底面圆的一个大圆锥减去一个小圆锥组成的组合体，其表面由两个圆锥的侧面组成
其表面积为S₂=π×3×3

2

+π×3×

10

=（9

2

+3

10

）π．
答：△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，形成几何体的表面积分别为（5

10

+9

2

+4）π、（9

2

+3

10

）π．

点评：本题给出△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，求形成的几何体的形状与表面积，着重考查了旋转体的形成过程和圆锥、圆台的表面积求法等知识，属于中档题．