Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*满足：
①对于任意a，b∈N^*，a＜b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
②对任意n∈N^*，都有f[f（n）]=3n．
（I）证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1），f（2），f（3）的值；
（III）令an=f(3n)，n∈N*，证明：

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由已知条件中对任意a，b∈N^*，a≠b，我们不妨令a＜b，则可将已知中af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）变形为（a-b）（f（a）-f（b））＞0由a＜b判断出f（a）-f（b）的符号，结合单调性的定义，即可作出结论．
（II）由对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．我们不妨令f（1）=a，然后分a＜1，a=1，a＞1三类进行讨论，再由a∈N^*，可以求出a值，进而求得f（2），f（3）的值；
（III）a_n=f（3ⁿ），则易得f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．分析可知数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列再利用放缩法可证明

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

成立．

解答：解：（I）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)，
显然

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
从而

1

4

(1-

1

3n

)≥

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
综上所述，

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

点评：（1）对于抽象函数的函数值的求法，我们不可能求出函数的解析式，但观察到af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）移项分解后的形式，故可据此分析函数的单调性；（2）中分类讨论求f（1）的值，及根据已知条件和（1）的结论得到f（28）值用到需要较强的逻辑能力；（3）中放缩法是证明不等式常用的方法，要求大家了解并学会使用．属中档题．