分析 (Ⅰ)等差数列{an}的通项an=2+(n-1)×2=2n,bn=22n,$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2(n+1)}}{{2}^{2n}}=4$;
(2)cn=an+bn=2n+4n,分组求和即可.
解答 解:(1)证明:因为等差数列{an}的首项和公差都为2,
所以an=2+(n-1)×2=2n,
又因为bn=22n,
所以$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2(n+1)}}{{2}^{2n}}=4$,
所以数列{bn}是以4为首项和公比的等比数列; …(8分)
(2)解:因为cn=an+bn=2n+4n,
等差数列{an}的前n项和sn=$\frac{2+2n}{2}•n=n(n+1)$,
等比数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{4(1-{4}^{n})}{1-4}=\frac{4}{3}({4}^{n}-1)$
所以{cn}的前n项和An=sn+Tn=n(n+1)+$\frac{4}{3}({4}^{n}-1)$.…(13分)
点评 本题考查了等差数列、等比数列的计算,及分组求和,属于中档题.
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