精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
9.已知数列{an}是等差数列,其首项为2,且公差为2,若${b_n}={2^{a_n}}$(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和An

分析 (Ⅰ)等差数列{an}的通项an=2+(n-1)×2=2n,bn=22n,$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2(n+1)}}{{2}^{2n}}=4$;
(2)cn=an+bn=2n+4n,分组求和即可.

解答 解:(1)证明:因为等差数列{an}的首项和公差都为2,
所以an=2+(n-1)×2=2n,
又因为bn=22n
所以$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2(n+1)}}{{2}^{2n}}=4$,
所以数列{bn}是以4为首项和公比的等比数列;             …(8分)
(2)解:因为cn=an+bn=2n+4n
等差数列{an}的前n项和sn=$\frac{2+2n}{2}•n=n(n+1)$,
等比数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{4(1-{4}^{n})}{1-4}=\frac{4}{3}({4}^{n}-1)$
所以{cn}的前n项和An=sn+Tn=n(n+1)+$\frac{4}{3}({4}^{n}-1)$.…(13分)

点评 本题考查了等差数列、等比数列的计算,及分组求和,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.设集合A={1,3,5,7},B={2,3,4},则A∩B={3}.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若$\sqrt{5}$b=4c,B=2C
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)若c=5,点D为边BC上一点,且BD=6,求△ADC的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.函数y=$\frac{{x}^{2}ln|x|}{|x|}$的图象大致是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1(a>0)$的一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$(0<b<2)的焦点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m交椭圆E于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M(-1,0),N(1,0),记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2,当2m2-2k2=1时,求k1•k2的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.如图1,在边长为$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中,E、O分别为 AD、BC的中点,沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°,如图2,点G 在BC上,BG=2GC,M、N分别为AB、EG中点.
(Ⅰ)求证:OE⊥MN;
(Ⅱ)求点M到平面OEG的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=-x+b与抛物线交于A,B两点.
(Ⅰ)若|AB|=8,求b的值;
(Ⅱ)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案