Question

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与椭圆C₂的一个交点是M（

2

3

，

2 6

3

）．求抛物线C₁及椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析：根据M在抛物线上，可求抛物线的方程，利用椭圆的定义，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆方程．

解答：解：由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）
∵点M（

2

3

，

2 6

3

）在抛物线上，∴p=2
∴抛物线C₁的方程为y²=4x
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），∴c=1
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4，∴a=2，b=

3

∴椭圆C₂的方程为

x2

4

+

y2

3

=1

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程的求法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键．