Question

（2012•扬州模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

，且△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若OP=2

7

，求椭圆方程；
（Ⅲ） 若c=1，点P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），设P（s，t），利用向量的坐标及

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

，即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）不妨设|PF₁|＜|PF₂|，先确定|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，可得

s2+t2=28① (s+c)2+t2=(2c-1)2② (s-c)2+t2=(2c+1)2③

，由此可求椭圆方程；
（Ⅲ）法一：先求出椭圆方程，设△PF₁F₂的外接圆方程，利用F₁（-1，0）和P（s，t）在圆上，可表示圆心坐标与半径，利用△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，即可求得结论；
法二：先求出椭圆方程，由题△PF₁F₂的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则利用△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即可求点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），设P（s，t），
由

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

得：(-a-s，-t)=

3

2

(-c-s，-t)-

1

2

(c-s，-t)
即-a-s=

3

2

(-c-s)-

1

2

(c-s)，∴a=2c，∴e=

c

a

=

1

2

∴椭圆的离心率是

1

2

；
（Ⅱ）不妨设|PF₁|＜|PF₂|，由|F₁F₂|=2c，及△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列，再结合a=2c得：|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，所以

s2+t2=28① (s+c)2+t2=(2c-1)2② (s-c)2+t2=(2c+1)2③

，①×2-②-③得：c²=9，所以椭圆方程是

x2

36

+

y2

27

=1．
（Ⅲ）法一：∵c=1，a=2c，∴a=2，∴b²=3，∴椭圆方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
设P（s，t），则

s2

4

+

t2

3

=1，s2=4-

4t2

3

，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为2，
设△PF₁F₂的外接圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
又F₁，F₂关于y轴对称，故D=0，即圆方程为x²+y²+Ey+F=0，
由F₁（-1，0）和P（s，t）在圆上得：

1+F=0 s2+t2+Et+F=0

，∴

F=-1 E=- s2+t2-1 t = t2-9 3t

则圆心坐标为M(0，-

E

2

)，半径为r=

E2-4F

2

=

E2+4

2

△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，
∴OM=|2-r|

|E|

2

=2-

E2+4

2

或

|E|

2

=

E2+4

2

-2（此方程无解）
解得：|E|=

3

2

，
由

t2-9

3t

=

3

2

得：2t²-9t-18=0，t=-

3

2

（舍去）或t=-6（舍去）
由

t2-9

3t

=-

3

2

得：2t²+9t-18=0，t=

3

2

或t=-6（舍去），所以点P坐标P(1，

3

2

)．
法二：由题△PF₁F₂的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则

3s2+4t2=12 r2=m2+1=(s-0)2+(t-m)2 |m|=2-r

，由题s，t，m，r＞0，从而解得

r= 5 4 m= 3 4

，

t= 3 2 s=1

所以点P坐标为(1，

3

2

)

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查圆的方程，属于中档题．