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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC=1,点M和N分别为A1B1和BC的中点.

(1)求证:AC⊥BM;
(2)求证:MN∥平面ACC1A1
(3)求二面角M﹣BN﹣A的余弦值.

【答案】
(1)证明:由题意知AC、AB、AA1两两垂直,

如图,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),M(0,1,2),

=(1,0,0), =(0,﹣1,2),

=0,∴

∴AC⊥BM.


(2)证明:∵M(0,1,2),N( ),A(0,0,0),B(0,2,0),

=( ), =(0,2,0),

=0,

∴MN⊥AB,

是平面ACC1A1的一个法向量,且MN平面ACC1A1

∴MN∥平面ACC1A1


(3)解:由(2)得 =( ), =(0,1,﹣2),

设平面MBN的法向量为 =(x,y,z),

,取z=1,得 =(4,2,1),

平面ABN的法向量 =(0,0,2),

cos< >= = =

∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是锐角,

∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值为


【解析】(1)以为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AC⊥BM.(2)推导出 =0,由 是平面ACC1A1的一个法向量,且MN平面ACC1A1 , 能证明MN∥平面ACC1A1 . (3)求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量,利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.

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