【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC=1,点M和N分别为A1B1和BC的中点.
(1)求证:AC⊥BM;
(2)求证:MN∥平面ACC1A1;
(3)求二面角M﹣BN﹣A的余弦值.
【答案】
(1)证明:由题意知AC、AB、AA1两两垂直,
如图,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),M(0,1,2),
∵ =(1,0,0), =(0,﹣1,2),
∴ =0,∴ ⊥ ,
∴AC⊥BM.
(2)证明:∵M(0,1,2),N( ),A(0,0,0),B(0,2,0),
∴ =( ), =(0,2,0),
∴ =0,
∴MN⊥AB,
∵ 是平面ACC1A1的一个法向量,且MN平面ACC1A1,
∴MN∥平面ACC1A1
(3)解:由(2)得 =( ), =(0,1,﹣2),
设平面MBN的法向量为 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得 =(4,2,1),
平面ABN的法向量 =(0,0,2),
cos< >= = = ,
∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是锐角,
∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值为
【解析】(1)以为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AC⊥BM.(2)推导出 =0,由 是平面ACC1A1的一个法向量,且MN平面ACC1A1 , 能证明MN∥平面ACC1A1 . (3)求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量,利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.
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【题目】设f(x)=alnx+ + x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
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【题目】已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+acosx+b,(a,b∈R)且均为常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间[﹣ ,0]上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b的值.
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【题目】已知一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球的个数少的取法有多少种?
(2)从中任取5个球,记取到红球的个数为X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知抛物线y2=8x的准线与双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)相交于A、B两点,双曲线的一条渐近线方程是y= x,点F是抛物线的焦点,且△FAB是等边三角形,则该双曲线的标准方程是( )
A.﹣ =1
B.﹣ =1
C.﹣ =1
D.﹣ =1
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【题目】已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为_____.
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