Question

7．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点．
（1）若BD=2，AC=6，则EG²+HF²等于多少？
（2）若AC与BD成30°的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH的面积等于多少？

Answer 1

分析 （1）由题意得出四边形EFGH是平行四边形，求出它的各边长，再利用余弦定理求出EG²与HF²的表达式，即可得出EG²+HF²的值；
（2）根据平行线成角定理，再结合中位线定理，求出四边形EFGH的面积．

解答 解：（1）∵E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD；
FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD；
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
又BD=2，AC=6，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=1，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，

在△EFG和△HFG中，由余弦定理得，
EG²=EF²+FG²-2EF•FG•cos∠EFG
=3²+1²-2×3×1×cos∠EFG
=10-6cos∠EFG，
HF²=HG²+FG²-2HG•FG•cos∠FGH
=3²+1²-2×3×1×cos（π-∠EFG）
=10+6cos∠EFG，
∴EG²+HF²=20；
（2）∵AC与BD成30°的角，且EF∥AC，FG∥BD，
∴∠EFG=30°，
又AC=6，BD=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=3，FG=$\frac{1}{2}$BD=2；
∴四边形EFGH的面积为S=EF•FG•sin∠EFG=3×2×sin30°=3．

点评 本题考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了正弦和余弦定理的应用问题，是综合性题目．