Question

【题目】若对任意的正整数，集合的任意元子集中，总有三个元素两两互素.求的最小值.

Answer 1

【答案】68

【解析】

考虑时的集合的67元子集，其元素为偶数及被3整除的奇数，即

.

显然，集合中不存在三个两两互素的元素.

于是，不符合要求.

下面证明符合要求.

先证明一个引理.

引理对任意的正整数，集合

的任意五元子集中，总有三个元素两两互素.

证明，设为集合的一个五元子集.

注意到，这六个数三奇三偶，且恰有一个为5的倍数.

于是，若集合中含有三个奇数，则这三个奇数必两两互素，结论成立.

若集合中元素为两奇三偶，由于三个偶数中至多有一个为3的倍数，至多有一个为5的倍数，因此，三个偶数中必有一个数既不为3的倍数，也不为5的倍数，它与两个奇数两两互素，结论成立.

回到原题.

对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：

，

，

设为集合的68元子集.

（1）若集合有四个元素来自集合，由于为奇数时，、、两两互素；为偶数时，、、两两互素，因此，集合中至少有三个元素两两互素.

（2）若集合至多有三个元素来自集合，则集合至少有65个元素来自集合.

根据抽屉原理，知集合至少有五个元素来自同一个集合，不妨设其来自集合.由引理，知它们中存在三个两两互素的元素.因此，集合中总有三个两两互素的元素.

从而，符合要求，即对任意的正整数，集合的任意68元子集中，总有三个元素两两互素.

综上，的最小值为68.