Question

【题目】已知椭圆E： 的离心率为 ，F1 ， F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F1 ， F2关于l的对称点恰好为圆C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F1A，F1B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：将圆C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，则圆心C（2m，m），半径为2，

由椭圆的焦距为2c=d=4，c=2，

由e= = ，则a=3，

b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为 ；

（2）由F1，F2关于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，

故l方程为y=﹣2x+ ，

，整理得2y2+2py﹣5pm=0，

则△=（2p）2+4×2×5p＞0，则p+10m＞0，

设A（x1，y1），B（x1，y1），则y1+y2=﹣p，y1y1=﹣ ，

由F1的坐标为（﹣2，0），则 =（x1+2，y1）， =（x2+2，y2），

由 与 同向， 与 同向，

则点F1在以线段MN为直径的圆内，则 ＜0，则 ＜0，

则（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，则 +10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，

当且仅当△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，

总存在m使得②成立，

当p＞5时，由韦达定理可知 +10（2﹣p）m+4（p+4）=0的两个根为正数，

故使②成立的m＞0，从而满足①，

故存在整数集D=（5，+∞），当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在线段MN为直径的圆内．

【解析】（1）将圆C的一般方程变为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据题意不难得到椭圆方程中的a，b，c，（2）由F1，F2关于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，可得到直线l的方程，联立抛物线方程，由韦达定理得到y1+y2，y1y1，根据点 F1在以线段MN为直径的圆内，可得到 ＜0，表示出向量进行求解即可.