Question

【题目】在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：直线平面；

（Ⅱ）若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

（Ⅰ）因为，，所以，即。又由题意可知底面，所以，由线面垂直的判定定理即可得证。

（Ⅱ）分别以为轴、轴和轴正方向建系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值。

（Ⅲ）由结合（2），可得，，又平面 ，根据线面角的余弦值即可求解。

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.

所以.

因为侧面底面，且，面面

且面所以底面.

又因为底面，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面

（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

由，，得

令,得.

为的中点，由（1）知，平面且，

所以 ，

平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设，则，所以，

由（1）知.直线与平面所成的角正弦值为

所以，即，

解得.或 （舍）