Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，记A₁F与平面BCC₁B₁所成的角为θ，下列说法错误的是（　　）

• A、点F的轨迹是一条线段
• B、A₁F与D₁E不可能平行
• C、A₁F与BE是异面直线
• D、tanθ≤2

  2

Answer 1

分析：分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及线面所成角的定义和计算分别进行判断．

解答：解：A．设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，可得直线A₁F?平面A₁MN，即点F是线段MN上上的动点．
∴A正确．
B．由A知，平面A₁MN∥平面D₁AE，
∴A₁F与D₁E不可能平行，∴B错误．
C．∵平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，
∴A₁F与BE是异面直线，∴C正确．
D．设直线A₁F与平面BCC₁B₁所成角为θ
运动点F并加以观察，可知
当F与M（或N）重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
当F与MN中点重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角达到最大值，满足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围为[2，2

2

]，即tanθ≤2

2

成立．
∴D正确．
故错误的是B．
故选：B．

点评：本题综合考查了空间直线和平面平行的位置关系的判断，以及异面直线和线面所成角的大小求法，综合性较强，计算量较大．