分析 (1)由题意可得ax2-4x-5-a≤0恒成立,对a讨论,结合判别式非负,解不等式即可得到所求范围;
(2)令t=log2x,则x=2t,即有g(t)=a•4t-2•2t+1-a,可得g(x)的解析式;讨论a=0,a>0,a<0,由指数函数的值域和二次函数的对称轴和区间的关系,运用单调性,可得所求值域.
解答 解:(1)对-切x∈R,均有f(x)≤2x+6恒成立,
即为ax2-4x-5-a≤0恒成立,
显然a=0时,-4x-5不恒小于等于0,不成立;
当a<0,判别式△≤0,即有16+4a(a+5)≤0,
解得-4≤a≤-1,
当a>0,不等式不恒成立.
综上可得a的范围是[-4,-1];
(2)g(log2x)=f(x)=ax2-2x+1-a,
令t=log2x,则x=2t,
即有g(t)=a•4t-2•2t+1-a,
则g(x)=a•4x-2•2x+1-a,
当a=0时,g(x)=-2•2x+1<1;
当a>0时,令m=2x,(m>0),
g(x)=am2-2m+1-a,对称轴为m=$\frac{1}{a}$>0,
即有g(x)在对称轴处取得最小值,且为$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$;
当a<0时,对称轴为m=$\frac{1}{a}$<0,g(m)在区间(0,+∞)递减,
可得g(x)∈(-∞,1-a).
综上可得,当a=0时,g(x)的值域为(-∞,1);
当a>0时,g(x)的值域为[$\frac{a-{a}^{2}-1}{a}$,+∞);
当a<0时,g(x)的值域为(-∞,1-a).
点评 本题考查二次函数的性质和运用,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用判别式,考查函数的解析式的求法,注意运用换元法,考查函数的值域的求法,注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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