Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）
（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且函数f（x）有且只有一个零点，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈（﹣1，2）时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a

因为函数f（x）有且只有一个零点，所以△=b2﹣4a=0，

所以4a2﹣4a=0，所以a=1，b=2．

所以f（x）=（x+1）2；

（2）解： ，

由g（x）的图象知，要满足题意，

则 或 ，即k≥6或k≤0，

∴所求实数k的取值范围为（﹣∞，0]∪[6，+∞）

【解析】（1）由题意可得f（﹣2）=1，函数f（x）有且只有一个零点，所以△=0，解方程可得a，b，进而得到f（x）的表达式；（2）求出g（x）的表达式，配方，求得对称轴，讨论函数单调递减和递增，区间与对称轴的关系，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．