【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R)
(1)若函数f(x)的图象过点(﹣2,1),且函数f(x)有且只有一个零点,求f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈(﹣1,2)时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:因为f(﹣2)=1,即4a﹣2b+1=1,所以b=2a
因为函数f(x)有且只有一个零点,所以△=b2﹣4a=0,
所以4a2﹣4a=0,所以a=1,b=2.
所以f(x)=(x+1)2;
(2)解: ,
由g(x)的图象知,要满足题意,
则 或
,即k≥6或k≤0,
∴所求实数k的取值范围为(﹣∞,0]∪[6,+∞)
【解析】(1)由题意可得f(﹣2)=1,函数f(x)有且只有一个零点,所以△=0,解方程可得a,b,进而得到f(x)的表达式;(2)求出g(x)的表达式,配方,求得对称轴,讨论函数单调递减和递增,区间与对称轴的关系,解不等式即可得到所求范围.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质,掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减即可以解答此题.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,并说明理由;
(2)证明:直线l⊥平面ADD1A1 .
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a2x2+ax(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)最大值;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关,随机抽取了30名男性和30名女性观众,抽查结果用等高条形图表示如图:
(1)根据该等高条形图,完成下列列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目
与观众性别有关?
(2)从性观众中按喜欢节目与否,用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名中任选2名,求恰有1名喜欢节目
和1名不喜欢节目
的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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【题目】已知集合A={x|a≤x≤a+8},B={x|x<﹣1或x>5},
(1)当a=0时,求A∩B,A∪(CRB);
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品,称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据的茎叶图如图.
(1)根据样品数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定;
(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.
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【题目】用m,n表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,给出下列命题: ①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m∥α,α⊥β则m⊥β;
③若m⊥β,α⊥β,则m∥α;
④若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β,
其中,正确命题是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.④
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【题目】在三棱锥 中,底面
是边长为 2 的正三角形,顶点
在底面
上的射影为
的中心,若
为
的中点,且直线
与底面
所成角的正切值为
,则三棱锥
外接球的表面积为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=5,则V的最大值是( )
A.4π
B.
C.
D.
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