Question

8．如图所示，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C，使|BC|=t|OB|（t＞0），连接AC交BE于D，
（1）用t表示$\overrightarrow{OC}$的坐标；
（2）求$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{EC}$所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）B$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，由|BC|=t|OB|（t＞0），可得$\overrightarrow{BC}$=$t\overrightarrow{OB}$，再利用向量坐标运算即可得出．
（2）由向量共线定理可得：$\overrightarrow{OD}$=$λ\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OE}$=$（1-\frac{1}{2}λ，-\frac{\sqrt{3}}{2}λ）$，$\overrightarrow{OD}$=$μ\overrightarrow{OC}$+（1-μ）$\overrightarrow{OA}$=$（\frac{tμ+1}{2}，-\frac{\sqrt{3}tμ+2\sqrt{3}μ-\sqrt{3}}{2}）$（t＞0）．利用向量相等可得t，再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：（1）B$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∵|BC|=t|OB|（t＞0），
∴$\overrightarrow{BC}$=$t\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=$t\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$（t+1）\overrightarrow{OB}$=$（\frac{t+1}{2}，-\frac{\sqrt{3}（t+1）}{2}）$．
（2）∵$\overrightarrow{OD}$=$λ\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OE}$=$λ（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$+（1-λ）（1，0）=$（1-\frac{1}{2}λ，-\frac{\sqrt{3}}{2}λ）$，
$\overrightarrow{OD}$=$μ\overrightarrow{OC}$+（1-μ）$\overrightarrow{OA}$=μ$（\frac{t+1}{2}，-\frac{\sqrt{3}（t+1）}{2}）$+$（1-μ）（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$（\frac{tμ+1}{2}，-\frac{\sqrt{3}tμ+2\sqrt{3}μ-\sqrt{3}}{2}）$（t＞0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{2}λ=\frac{tμ+1}{2}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}λ=-\frac{\sqrt{3}tμ+2\sqrt{3}μ-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{1}{t}$．
∴$\overrightarrow{OD}$=$（1-\frac{1}{2t}，-\frac{\sqrt{3}}{2t}）$．
$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OE}$=$（\frac{t+1}{2}，-\frac{\sqrt{3}（t+1）}{2}）$-（1，0）=$（\frac{t-1}{2}，-\frac{\sqrt{3}（t+1）}{2}）$．
∴$|\overrightarrow{OD}|$=$\sqrt{（1-\frac{1}{2t}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2t}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{t}+\frac{1}{{t}^{2}}}$，
$|\overrightarrow{EC}|$$\sqrt{（\frac{t-1}{2}）^{2}+[-\frac{\sqrt{3}（t+1）}{2}]^{2}}$=$\sqrt{1+t+{t}^{2}}$．
$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{EC}$=$\frac{{t}^{2}+2}{2t}$．
∴$cos＜\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{EC}＞$=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{\frac{{t}^{2}+2}{2t}}{\sqrt{\frac{{t}^{2}-t+1}{{t}^{2}}•（1+t+{t}^{2}）}}$=$\frac{{t}^{2}+2}{2\sqrt{{t}^{4}+{t}^{2}+1}}$．
∴$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{EC}$所成角的大小arccos$\frac{{t}^{2}+2}{2\sqrt{{t}^{4}+{t}^{2}+1}}$．

点评 本题考查了向量坐标运算、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于中档题．